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承办单位: 贵州大学     

基本信息

项目名称:
关于特殊隐函数的导数问题
小类:
数理
简介:
隐函数求导问题是《高等数学》一元函数微积分部分提出的一个重要问题,它在一些实际背景应用问题的求解起着重要的作用。本文通过对特殊隐函数(即轮换式函数)的导数问题研究,采用换元、变更主元的数学思想,打破常规数学思维。实现了由浅入深,由简入繁,层层解析的目的,并采用了归纳所得的猜想,最终用所学的、已知的定理给予证明的方法。
详细介绍:
对于一个函数,变量在定义域内取值时,其中满足一种对应法则,在一定条件下,当取某区间内的任一值,必有唯一的函数值与之对应,即在该区间内确定了一个函数,数学中将这种函数称为隐函数。其中的变量间关系不显现。正因为如此,才让隐函数求导问题变得更加复杂,让人琢磨不透。不过传统的隐函数求导方法也有很多,比如等式二边直接求导、对数求导法、微分法等。然而对于一些特殊的隐函数而言,这种方法便过于复杂,特别是对于轮换式函数,就更加走尽了弯路。所以,应该寻找更为简便的方法。该论文中的轮换理论就解决了这一难题,提供了一种全新的思路。 该论文属于纯数学类理论性作品,具有较高的创新含量。其中所包含的数学思想与数学思维方式与前人的截然不同,进而凸显出该作品的亮点。 它一方面通过由浅入深、由简单到复杂的数学推理对一系列特殊隐函数进行探讨,最终推导归纳出一整套新的理论——轮换理论。主要通过对以下几种类型隐式函数的深入探讨: 1、全代换理论 (1)第一类轮换式函数求导方法 (2)第二类轮换式隐式函数的导数 2、半代换理论 (1)同时含有因式xy、x^n、y^n的轮换式隐式函数的导数 (2)含有因式xy、e^x、e^y的轮换式隐式函数的导数 (3)含有xy且为对数型的轮换式隐式函数求导 (4)含反三角函数的轮换式隐式函数导数 其中探讨归纳出的全代换理论与半代换理论构成了轮换理论的主体。 另一方面该作品集中的将换元、替换的数学思想得较好的体现;归纳与猜想相结合的数学方法得到实践;由一般到特殊、由复杂到特殊的逆向思维得到运用;实现了由已知数学定理推出一般性规律,再回归到数学定理这一过程。其中体现了轮换理论与数学思维方式的有机结合,并将轮换理论与实际效应相互映衬。 该作品实现了由点到面、由具体到抽象的历程,集中的凸显出轮换理论的优越性与创新性。此外,该理论的发展前景较广,包括极限领域、偏导领域等的研究。因此,拥有较大的深入空间与研究方向。

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  • 关于特殊隐函数的导数问题
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作品专业信息

撰写目的和基本思路

写作目的:培养课余创新、自主学习能力;深入了解导函数,达到“学以致用”的效果。同时,将自己的理论成果与大家一同分享,以便启发、探讨出更加系统、更加完备的轮换理论,带动数学的发展。 基本思路:通过对一些特殊隐函数的探讨,从探讨简单的一元二次函数到更为复杂的函数;充分利用换元、变更主元等数学思想。最后从一般角度对该理论成果进行阐述,形成一套系统性较强的、科学基础较深的、实用价值较大的轮换理论。

科学性、先进性及独特之处

创新性:它打破了原有的求导隐函数数学思想的限制。采用由简到繁、层层推进的代换思想。引出半代换与全代换理论,充分体现了换元、变更主元的数学思想。 科学性:该论文以隐函数存在定理为理论基础,具有一定的科学性。同时,论文写作中采用了推理与归纳相结合,层层推进的数学思想,具有较强的科学性。 独特之处:大胆创新,充分抓住已知的定理,进而发现新的理论,进一步形成属于自己的创新性、系统性的理论。

应用价值和现实意义

实用价值:导数作为实际问题中的一个有力的工具,便于解决一系列优化问题。本项目的提出,将极大优化原有的复杂求导过程,从而有利于实际问题的解决。进而带来一系列的经济效益与科研价值。 现实意义:该作品以轮换理论为主体,作为一种数学理论,首先确立了它的科研意义。同时该理论涉及的导数、极限、偏导等领域也将受益,带动该层次的研究与发展。应用领域较为广泛。

学术论文摘要

隐函数求导问题是《高等数学》一元函数微积分部分提出的一个重要问题,它在一些实际背景应用问题的求解起着重要的作用。本文通过对特殊隐函数(即轮换式函数)的导数问题研究,采用换元、变更主元的数学思想,打破常规数学思维。实现了由浅入深,由简入繁,层层解析的目的,并采用了归纳所得的猜想,最终用所学的、已知的定理给予证明的方法。在一定程度上为解决特殊隐函数的导数问题(即轮换式函数)提供了一种新的便捷方法。 与此同时,本论文中提出的全代换理论和半代换理论不仅可以应用于导数领域,而且可以在化学、物理等其它学科中得以体现。导数在实际问题中广泛应用于优化问题的解决,能够使很多问题简化,带来一定的经济效益。导数的研究发展一直保持着较快的步伐,前人在此领域已经取得了骄人的成绩,但也留下了一系列可研究、可探讨的问题。对于轮换式形式函数未给出较系统的理论。因此,本论文的提出,具有一定的先进性和创新性。 它集中体现了一种轮换与换元的数学思想,逆推与回归的数学思维,归纳与猜想的数学方法。巧妙的将数学方法论与数学思维方式有机结合在一起,推导出了较为系统性的代换理论。

获奖情况

暂时未被发表!

鉴定结果

本作品选题源于导数基本理论,结合隐函数求导复杂问题,提出了创新式理论。作品中的轮换理论能巧妙地转化并解决一些实际问题,该作品选题合理、题材新颖、方法独特,具有较高的创新性,有一定的应用前景。

参考文献

[1]刘季浦,关于隐函数存在定理[J],湖南数学通讯,1993,3; [2]同济大学数学系,高等数学(第六版)(上册)[M],高等教育出版社,2006; [3]吴赣昌, 高等数学学习辅导与习题解答(上册)(理工类.第三版) [M],中国人民出版社,2010; [4]华南理工大学数学系,高等数学(上册),高等教育出版社,2009; [5]张天德、张焕玲,高等数学同步辅导(上),山东科学技术出版社,2009(9); [6]叶立军,数学方法论,浙江大学出版社,2008(6); [7]胡端平、熊德之,高等数学及其应用(上册),科技出版社,2007(6).

同类课题研究水平概述

本作品属于自然科学性数学类的论文。 由于导数应用非常广泛,实用价值高,包括物理、化学等各学科,都与导数密切相关。导数是一个有用的工具,主要用于解决一系列优化问题。例如:为使某经营利润最大,生产效率最高,或为了使用力最省,用料最少,消耗最省等,就需要用导数来解决,以寻求相应的策略。正是由于导数的应用范围广、价值大,当前国内外关于导数的研究水平较高,特别是在微分、积分方面,新发现、新理论层出不穷,并且不断完善。但是,同类型的课题研究较少,特别是对轮换理论的研究甚少。导数问题更是积分学、微分学的基础性问题。其中隐函数求导相对较为复杂。因此,本作品正好切合隐函数导数求导复杂问题,提出了创新式求导方法。而这些方法在当前国内外是相对缺乏的,对于论文中的轮换式复杂隐函数,能巧妙的转化,并解决实际问题,这必将推动微积分学的进一步发展! 与此同时,本论文中提出的全代换理论和半代换理论不仅可以应用于导数领域,而且可以在化学、物理等其它学科中得以体现。导数在实际问题中广泛应用于优化问题的解决,能够使很多问题简化,带来一定的经济效益。导数的研究发展一直保持着较快的步伐,前人在此领域已经取得了骄人的成绩,但也留下了一系列可研究、可探讨的问题。对于轮换式形式函数未给出较系统的理论。因此,本论文的提出,具有一定的先进性和创新性。 导数作为一种应用工具,同时也是微分学的基础。自然而然,导数问题的深入研究将推进微分学的发展。轮换式隐式函数的求导问题,在一定程度上深化了学者对导数的认识,以至更为方便的应用导数和研究微分。 本论文中侧重体现的是一种轮换与换元的数学思想,逆推与回归的数学思维,归纳与猜想的数学方法。巧妙的将数学方法论与数学思维方式有机结合在一起,推导出了较为系统性的代换理论。实现了由定理到理论再回归定理的轮换性过程,突显出存在定理的价值。该课题仍可继续深入,具有较高的研究价值。
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