基本信息
- 项目名称：
- 关于傅里叶级数如何表示函数的实验研究
- 来源：
- 第十二届“挑战杯”省赛作品
- 小类：
- 数理
- 大类：
- 自然科学类学术论文
- 简介：
- 利用科学计算实验室的Matlab软件画出原函数与其傅里叶展开的图像，并通过比较，分析图像之间的联系与区别，从而更直观地理解傅里叶级数表示函数的过程。
- 详细介绍：
- 以傅里叶级数如何表示函数作为课题，研究了通过傅里叶级数的项数的不断增加，如何一步步逼近所要表示的函数。本文共分3个部分。首先，研究用傅里叶级数表示一个连续的函数。然后，研究傅里叶级数是如何表示一个间断函数的。最后，研究不是以2π为周期的函数怎样用傅里叶级数来表达
作品专业信息
撰写目的和基本思路
- 虽然我们在数学分析的课堂上已经学习了傅里叶级数及相关内容，但究竟傅里叶级数是如何表示函数的，我们很难想象出这个过程。于是，我便以傅里叶级数如何表示函数作为课题，研究了通过傅里叶级数的项数的不断增加，如何一步步逼近所要表示的函数。本文共分3个部分。首先，研究用傅里叶级数表示一个连续的函数。然后，研究傅里叶级数是如何表示一个间断函数的。最后，研究不是以2π为周期的函数怎样用傅里叶级数来表达
科学性、先进性及独特之处
- 针对数学分析中傅里叶级数如何表示函数的问题，设计了有关实验项目，并利用科学计算实验室的Matlab软件画出原函数与其傅里叶展开的图像，并通过比较，分析图像之间的联系与区别，从而更直观地理解傅里叶级数表示函数的过程。
应用价值和现实意义
- 传统的学习数学的方法如看书、听课、做习题等实际上是有缺陷的。有很多的内容缺乏直观感觉或者没有研究的方向，这使我们在对某些数学问题上得不到很好的理解。傅里叶级数就是其中之一。虽然我们在数学分析的课堂上已经学习了傅里叶级数及相关内容，但究竟傅里叶级数是如何表示函数的，我们很难想象出这个过程。于是，在老师的指导下，我们利用开放实验室项目探索怎样利用数学软件进行有关的数学实验
学术论文摘要
- 通过实验的三个例子，我们可以较直观的看出傅里叶级数表示函数的奇妙过程。随着n的增大，傅里叶级数竟魔法般的逼近原函数。而且，不仅仅适用于以2 π为周期的周期函数，周期改变，甚至非周期函数，只要经过一系列的变化后，就又可以用傅里叶级数来表示了。真是一个很强大的表示函数的方法。通过图像，这一过程更加明显。我更认识到数形结合真是解决数学问题的一个很好的手段。通过这次开放实验室活动，在亲手画图的过程中，让我对知识有了更深的理解。在今后的学习中，我会经常运用图来解决问题。
获奖情况
- 无
鉴定结果
- 无
参考文献
- [1] 邓东皋,尹小玲. 数学分析(上、下)（第二版）. 北京：高等教育出版社，2006年,115-141. [2] 孙兆林. MATLAB 6.x 图像处理（第一版），北京：清华大学出版社，2002年，110-118。
同类课题研究水平概述
- 傅里叶级数是一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
